Hyperbola


Úvod

Hyperbola je definována ve standardní geometrii.

V analytické geometrii si pouze odvodíme její rovnice, dále ji vyšetřovat nebudeme, protože způsob řešení úloh je podobný jako u kružnice.

Navíc si pouze ujasníme vztah mezi hyperbolou a grafem fukce nepřímé úměrnosti.



Odvození rovnice hyperboly

Rovnici hyperboly odvodíme podobně jako jsme odvodili rovnici elipsy:

  • Podle definice, pro libovolný bod X hyperboly je |EX| - |FX| = 2*a, kde E, F jsou její ohniska.
  • Aby byl výpočet co nejjednodušší, předpokládejme, že X = [x; y], E = [-e; 0] a F = [e; 0], tj. ohniska elipsy leží na ose x, E je vlevo a F je vpravo od počátku souřadnic. 
  • Definici hyperboly zapíšeme vzorcem √((x+e)2+y2) - √((x-e)2+y2)=2a
Tento vzorec zjednodušíme, začneme tím, že jej umocníme na 2 podle vzorce:
  • ((x+e)2+y2) - 2 * √((x+e)2+y2)*√((x-e)2+y2) + ((x-e)2+y2) = 4a2
  • x2+2e+e2+y2 - 2 * √((x+e)2+y2)*√((x-e)2+y2)+x2-2e+e2+y2 = 4a2
  • -2 * √((x+e)2+y2) * √((x-e)2+y2) = 4a2-2x2-2e2-2y2      // vydělíme -2
  • √((x+e)2+y2) * √((x-e)2+y2) = -2a2+x2+e2+y2         // umocníme na 2
  •                                                                                    // a ozávorkujeme vlevo
  • ((x+e)2+y2) * ((x-e)2+y2) = ((e2+y2)-(2a2-x2))2       // roznásobíme
  • (x+e)2 * (x-e)2 + y2 * (x-e)2 + (x+e)2 * y2 + y4 =
  •         (e2+y2)2 - 2*(e2+y2)*(2a2-x2) + (2a2-x2)2        // upravíme pravou stranu
  • ((x+e) * (x-e))2 + y2 * (x-e)2 + (x+e)2 * y2 + y4 =
  •         (e2+y2)2 - 2*(e2+y2)*(2a2-x2) + (2a2-x2)2       // upravíme pravou stranu
  • ((x2-e2))2 + y2 * (x-e)2 + (x+e)2 * y2 + y4 =
  •         (e2+y2)2 - 2*(e2+y2)*(2a2-x2) + (2a2-x2)2       // roznásobíme
  • x4-2x2e2+e4 + y2x2-2y2ex+y2e2 + y2x2+2y2ex+y2e2 + y4 =
  •     e4+2e2y2+y4 -4e2a2 -4y2a2 +2e2x2 +2x2y2 +4a4-4a2x2+x4    // upravíme
  • 0 = -4e2a2 -4y2a2 +4e2x2 +4a4-4a2x2  // vydělíme -4 a vhodně převedeme vlevo
  • e2x2 - x2a2 - a2y2  = a2e2 - a4
  • x2*(e2 - a2) - a2y2  = a2*(e2 - a2)                            // dosadíme podle rovnosti
  • x2*b2 - a2y2  = a2*b2                                              // podělíme a2*b2
  • x2*b2 / a2*b2 - a2y2 / a2*b2  = a2*b2 / a2*b2         // upravíme
  • x2 / a2 - y2 / b2  = 1
Takto jsme získali středovou rovnici hyperboly, která má střed S v počátku souřadnic.
Pokud jsou jeho souřadnice posunuty, např. S = [sx; sy], rovnice bude o toto posunutí pozměněna:
(x - sx)2 / a2 - (y - sy)2 / b2  = 1


Rovnice posunuté hyperboly v rovině

Pokud středovou rovnici upravíme o posun (sx, sy), dostaneme rovnici:

  • (x - sx)2 * b2 - (y - sy)2 * a2  = a2*b2
  • x2b2 - 2xsxb2 + sx2b2 - y2a2 + 2ysya2 - sy2a2  = a2*b2
  • x2b2 - 2xsxb2 - y2a2 + 2ysya2 + sx2b2 - sy2a2 -  a2*b2 = 0
kterou můžeme stručně zapsat ve tvaru s*x2 + t*y2 + u*x + v*y + w = 0, s * t < 0.
Tento tvar nazýváme obecnou rovnici hyperboly.


Převod obecné rovnice hyperboly na středovou

Z předchozího odstavce lze usoudit, že převod obecné rovnice hyperboly na středovou nebude příliš obtížný. Jednočleny s x2, y2, x a y totiž vznikají jednoznačným způsobem při roznásobení závorek a pouze absolutní člen bude nutno dopočítat.

Příklad

Převeďte vzorec 4*x2 - 5*y2 + 14*x + 5*y - 5 = 0 na středový tvar, tedy převeďte 
tvar s*x2 + t*y2 + u*x + v*y + w = 0 na tvar (x - sx)2 / a2 - (y - sy)2 / b2 = 1.

Řešení

  • Pokud by se v rovnici vyskytl člen xy, nešlo by o rovnici převoditelnou na středovou rovnici hyperboly
  • Pokud by některý člen x2, y2 chyběl, nešlo by o rovnici hyperboly
  • Pokud by koeficienty u x2, y2 měly stejná znaménka, nešlo by o rovnici hyperboly
  • Pokud je koeficient u x2 záporný, vynásobíme rovnici -1.
  • Doplníme na čtverec výraz 4*x2 + 14*x: vyjde 4 * (x + 1,75)2 - 1,752
  • Doplníme na čtverec výraz 5*y2 - 5*y: vyjde 5 * (y - 0,5)2 - 0,52
  • Získané výrazy vložíme do rovnice:
    • 4 * (x + 1,75)2 - 5 * (y - 0,5)2 - 1,752 + 0,52 - 5 = 0
    • 4 * (x + 1,75)2 - 5 * (y - 0,5)2 = 7,8125
  • Pokud by na pravé straně vyšla 0, nešlo by o rovnici hyperboly.
  • Rovnici podělíme pravou stranou:
    • (4 * (x + 1,75)2) / 7,8125 - (5 * (y - 0,5)2) / 7,8125 = 7,8125 / 7,8125
    • (x + 1,75)2 / 1,95 + 5 * (y - 0,5)2 / 1.56 = 1
  • Pro úplnost ještě spočteme e = √(1,95 + 1,56) = 1,87 a nakreslíme výsledek:


Orientace hyperboly ve středovém tvaru

Označíme-li ve středově zadané hyperbole její vodorovnou poloosu a a svislou poloosu b, potom orientace hyperboly závisí na vztahu mezi a a b:

  • Je-li a < b, leží ohniska hyperboly na vodorovné přímce,
  • je-li a > b, leží ohniska hyperboly na svislé přímce.


Souvislost hyperboly a nepřímé úměrnosti

Jak známo, nepřímá úměrnost má rovnici y = k / x.

Dokážeme si, že jejím grafem je hyperbola pootočená o 45° vůči grafu hyperboly ve středovém tvaru.

Důkaz

  • Rovnici převedeme na tvar x * y = k
  • Provedeme pootočení souřadnic o 45°:
  • x * y = k                                      // pootočíme souřadný systém o úhel φ
    (x *  cos(φ) + y *  sin(φ)) * (x *  sin(φ) - y *  cos(φ)) = k   // dosadíme φ = 45°
    (x *  √2/2 + y *  √2/2) * (x *  √2/2 - y *  √2/2) = k               // roznásobíme
    x2 *  2/4 + x * y *  2/4 - x * y * 2/4 - y2 * 2/4 = k                // upravujeme
    x2 - y2 = 2* k
    x2 / (2* k)  - y2 / (2* k) = 1
  • Výsledkem je skutečně rovnice hyperboly v souřadnicích pootočených o 45°.