Čísla iracionální

Úvod

Zvládli jsme čísla racionální a víme, že jsou na číselné ose uložena hustě.

Můžeme se ptát:

Existují ještě nějaká jiná čísla než čísla racionální?
Nebo jinak:
Mohou se mezi natěsnanými čísly racionálními skrývat ještě nějaká další?

Odpověď je ano, taková čísla existují. Patrně prvním objeveným bylo číslo

2√2 = 1,4142...
čili délka uhlopříčky čtverce o straně 1

Podle Pythagorovy věty je totiž délka této uhlopříčky rovna

u = 2√(12 + 12) = 2√(1 + 1) = 2√2.

A je dokázáno, že toto číslo není racionální.

Dalšími takovými neracionálními čísly jsou např.:



Definice

Každé číslo, které není racionální, nazveme číslem iracionálním.

Množinu všech čísel iracionálních označujeme

Poznámka

Řečtí matematici nebyli vůbec nadšeni, když iracionální čísla objevili. Zdálo se jim, že tato čísla ničí jejich matematiku, která se spoléhala na dokonalost práce s čísly celými a jejich poměry, čili zlomky. 

Časem se s iracionálními čísly smířili, protože pochopili, že veličiny v přírodě jsou určovány pouze svým vznikem, a pokud není důvod, aby byly poměrem dvou celých čísel, je téměř jisté, že jím nebudou.


Věta

Čísla iracionální jsou přesně ta, která mají nekonečný a neperiodický desetinný rozvoj

Důkaz

Máme dokázat ekvivalenci obou výroků, proto budeme dokazovat dvojí implikaci:


Vytváření iracionálních čísel

Podle výše uvedené věty můžeme iracionální čísla snadno vytvářet - stačí si vymyslet nějaký předpis nekonečného neperiodického rozvoje, například:

  • vezmu číslo 333,712
  • k němu připojuji stále delší skupiny cifer, např. takto:
    • 2981
    • 29811
    • 298111
    • ...
Námi vyrobené číslo tedy bude 333,712298129811298111... . Jeho desetinný rozvoj bude nekonečný a neperiodický, tedy to bude číslo iracionální.

Takto můžeme vytvořit libovolný počet čísel iracionálních.
 


K iracionálním číslům se pojí jeden zajímavý geometrický postup.

Příklad

Pomocí Pythagorovy věty znázorněte několik prvních odmocnin z přirozených čísel.

Řešení


Zdroj

Výskyt 2√2 v řešení nás vede k hypotéze, že všechny odmocniny přirozených čísel lze rozdělit do dvou skupin:

  • odmocnina je přirozené číslo,
  • odmocnina je číslo iracionální.

Důkaz

Je-li dáno přirozené číslo n:

  • proběhneme přirozená čísla menší než n a zkusíme, není-li druhá mocnina některého z nich rovna n2. Pokud ano, patří n do první skupiny.
  • Pokud ne, použijeme upravený důkaz sporem pro iracionalitu 2√2

V něm si nejdříve připravíme potřebné znalosti:

Znalost Znění znalosti
výchozí znalost negovaný výrok A:
2√n lze zapsat jako podíl dvou celých čísel
pravidlo B jestliže čitatel a jmenovatel zlomku mají společného dělitele n > 1,
lze je tímto společným dělitelem vydělit.
Opakovaným použitím tohoto pravidla získáme zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou čísla nesoudělná (tj. nemají společného dělitele > 1)
definice D jestliže a je dělitelné dvěma, potom a nazveme sudým
věta E Je-li x2 dělitelné p, které není 2. mocninou přirozeného čísla, potom x je také dělitelné p.
Jinak by p bylo součinem prvočinitelů x a tedy by bylo 2. mocninou
přirozeného čísla
definice F jestliže a, b mají společného dělitele, potom a, b nazveme soudělná

A budeme vyvozovat:

Vstup kroku  Znalost Výsledek kroku
2√n = a / b, n není v první skupině
B a, b jsou nesoudělná
2√n = a / b umocnění n = a2 / b2
n = a2 / b2 úprava a2 = n * b2
a2 = n * b2 D a2 je dělitelné n
a2 je dělitelné n
E a je dělitelné n, jinak by
n bylo v první skupině
a je dělitelné n lze zapsat a = n * s
a2 = n * b2 dosadíme n * s2 = b2
n * s2 = b2 D b2 je dělitelné n
b2 je dělitelné n E b je dělitelné n
a, b jsou dělitelná n F a, b jsou soudělná
SPOR
platí opak ¬A, tedy platí A

Takto jsme dokázali, že 2√n není racionální číslo a patří tedy do druhé skupiny.

 


Porovnávání čísel

Máme-li zadána dvě čísla, umíme je vždy porovnat:

  • Racionální čísla umíme porovnat buď jako zlomky, nebo jako desetinná čísla.
  • Pokud jedno z čísel (nebo obě) jsou iracionální, porovnáváme je jako čísla desetinná.

Příklad

  • Porovnejte čísla 22/7 a π.
Řešení
  • 22/7 = 3,1428571428571428571428571428571
  • π    = 3,1415926535897932384626433832795
  • Vidíme, že čísla se liší na 4. číslici a že 22/7 > π.
Příklad
  • Porovnejte čísla 3,14 a π.
Řešení
  • 3,14 = 3,1414141414...
  • π    = 3,1415926535897932384626433832795
  • Vidíme, že čísla se liší na 5. číslici a že 3,14 < π.



Označování iracionálních čísel

Každé racionální číslo si nese ve svém zápisu popis, jak určit jeho polohu na číselné ose. Např. 5, 22/7 nebo -0,3.

Pro iracionální čísla je situace složitější, protože ta mohou být označována třemi způsoby:

  • Písmenem, např. π, e, φ - tak označujeme čísla, která jsou definována svým významem a ke kterým jsou známé postupy jejich výpočtu.
  • Způsobem výpočtu - tak označujeme čísla, která tak lze zapsat, např.:
    • 2√2 vzniká operací odmocňování z čísla 2.
    • π / 5 vzniká operací dělení číslem 5 z čísla π.
  • Vlastním označením - tak označíme čísla, která používáme při své práci a která si chceme uchovat. Spolu s označením si musíme zaznamenat také způsob zjištění jejich hodnoty. Například:
    • číslo z příkladu bychom si mohli označit MojeIracČíslo1 a k tomu bychom si zapsali způsob jeho výroby. 



Používání racionálních a iracionálních čísel

I v běžných výpočtech se mohou současně vyskytovat čísla racionální a iracionální. Nejsou s tím spojeny žádné problémy, s oběma typy čísel pracujeme stejně, tj.:

  • Dokud je to možné, zapisujeme je v jejich standardním označení, např. při při úpravě výrazu zachováváme symboly čísel, která neumíme přesně vyčíslit:
  •     - π / (2 * 3/8) + 0,5 / √5 =
        - π / (3 / 4) + 0,1 * 5 / √5 =
        - π * (4 / 3) + 0,1 * √5
  • Chceme-li vyčíslit výsledek,
    • rozhodneme se, kolik platných cifer budeme používat,
    • s pomocí kalkulátoru zjistíme hodnoty racionálních i iracionálních čísel,
    • výsledek spočteme:
      • - π * (4 / 3) + 0,1 * √5 ≈
        - 3,142 * 1,3333 + 0,1 * 2,236 ≈ -3,966



Výpočet iracionálních čísel

Přesto, že v dnešní době si můžeme iracionální čísla vyčíslovat pomocí kalkulátorů či počítačů, je užitečné znát základní způsob jejich výpočtu:

  • Stanovíme si, jakou budeme požadovat přesnost (počet platných cifer) iracionálního čísla.
  • S pomocí předpisu pro výpočet iracionálního čísla spočteme dvě posloupnosti racionálních čísel, kterými libovolně těsně ohraničíme iracionální číslo shora i zdola.
  • Po určitém počtu kroků budou mít odpovídající si členy posloupnosti na počátku tolik shodných cifer, kolik požadujeme platných číslic.
  • V tomto místě výpočet přerušíme a jedno z těchto čísel (nebo jejich aritmetický průměr) vezmeme za přibližnou hodnotu iracionálního čísla.
Příklad

Spočtěte 2√2 na 8 platných míst. 

Řešení

Je uvedeno jako příklad výpočtu odmocniny.



Doplnění definice obecné mocniny ab

Touto definicí jsme se již zabývali, vynechali jsme však při tom případy, kterých b je iracionální číslo. To nyní napravíme.
 

Mocněnec a Mocnitel b Definice operace ab
a reálné, a > 0 b iracionální ab = lim abk,
kde {bk} je posloupnost
racionálních čísel konvergujících k b
podrobný popis je zde.
a = 0 b > 0 iracionální ab = lim abk = 0,
kde {bk} je posloupnost
racionálních čísel konvergujících k 0
podrobný popis je zde.

Poznámky

  • V tabulce se vyskytuje podmínka a > 0, která značí, že neumíme pracovat
  • s a < 0 a b reálné (racionální nebo iracionální), protože například
          ab = (-1)3/2 = 2√(-13) = 2√(-1)
    a takové číslo nelze v reálném oboru odmocnit.
  • Poslední dvě definice lze spojit do jedné: a = 0 ∧ b > 0 reálné ⇒ ab = 0.



Znázorňování čísel iracionálních

Iracionální čísla můžeme na číselné ose znázorňovat podobně jako čísla racionální, tj. zkonstruujeme úsečku o délce odpovídající velikosti čísla a tuto úsečku vyneseme na číselnou osu vpravo nebo vlevo od počátku v závislosti na znaménku.

Příklad

Vedle racionálních čísel znázorněných modře jsou červeně znázorněna iracionální čísla 2√2, π, e a čísla jim opačná: