Odmocňování přirozeným číslem

Odmocňování reálných čísel  jsme již probírali dříve. V komplexním oboru platí stejná definice, pouze odmocněnec může být komplexní.


Věta

n-tou odmocninou z komplexního čísla r * (cos(φ) + i * sin(φ)) jsou všechna čísla ve tvaru

n√r * (cos(φ/n + 2*k*π/n) + i * sin(φ/n + 2*k*π/n), kde k = 0,...,n - 1.

Důkaz
Vyplývá z věty o násobení komplexních čísel - stačí zapsat součin n odmocnin a pronásobit je.

Poznámka
S touto větou souvisí řešení rovnic v komplexním oboru.
 


Příklad
Určete v Gaussově rovině všechny odmocniny 5√243.

Řešení
Číslo 243 zapíšeme v goniometrickém tvaru jako 243 * (cos(0°) + i * sin(0°)).

Podle věty jsou řešeními všechna čísla ve tvaru 
5√243 * (cos((k * 360°)/5) + i * sin((k * 360°)/5), k = 0,...,4,
tedy:
5√243 * (cos((0 * 360°)/5) + i * sin((0 * 360°)/5),
5√243 * (cos((1 * 360°)/5) + i * sin((1 * 360°)/5),
5√243 * (cos((2 * 360°)/5) + i * sin((2 * 360°)/5),
5√243 * (cos((3 * 360°)/5) + i * sin((3 * 360°)/5),
5√243 * (cos((4 * 360°)/5) + i * sin((4 * 360°)/5),

Protože 5√243 = 3, budou řešeními černě vyznačené body v následujícím obrázku:


Příklady
Příklady současně ilustrují řešení rovnice xn = a
  • 2√-1 (řešení rovnice x2 = -1) =
    • cos(90º) + i * sin(90º) = i
    • cos(270º) + i * sin(270º) = -i
  • 3√8 (řešení rovnice x3 = 8) =
    • 2 * (cos(0º) + i * sin(0º)) = 2
    • 2 * (cos(120º) + i * sin(120º))
    • 2 * (cos(240º) + i * sin(240º)) 
  • 3√-8 (řešení rovnice x3 = -8) =
    • 2 * (cos(180º) + i * sin(180º)) = -2
    • 2 * (cos(60º) + i * sin(60º))
    • 2 * (cos(300º) + i * sin(300º)) 
  • 4√256 (řešení rovnice x4 = 256) =
    • 4 * (cos(0º) + i * sin(0º)) = 4
    • 4 * (cos(90º) + i * sin(90º)) = 4 * i
    • 4 * (cos(180º) + i * sin(180º)) = -4
    • 4 * (cos(270º) + i * sin(270º)) = -4 * i
  • 6√64 (řešení rovnice x6 = 64) =
    • 2 * (cos(0º) + i * sin(0º)) = 2
    • 2 * (cos(60º) + i * sin(60º))
    • 2 * (cos(120º) + i * sin(120º))
    • 2 * (cos(180º) + i * sin(180º)) = -2
    • 2 * (cos(240º) + i * sin(240º))
    • 2 * (cos(300º) + i * sin(300º))

Příklad
Chytrý kouzelník spočítal:
√-1 * √-1 = (√-1)2-1          √-1 * √-1 = √(-1 * -1) = √(1) = 1
neboli
-1 = 1
Řešení
Výpočetní chyba tam není, takže je záhadou, proč dva různé, ale správné, postupy dávají různé výsledky.
Nezbude než věc zevrubně rozebrat:
  • Spočítáme levou rovnost √-1 * √-1 = (√-1)2-1:
  • Podle definice odmocňování dává √-1 dva různé výsledky: 
          √-1 = i a také √-1 = -i (je totiž i2 = -1 a také je (-i)2 = -1).
    Dosazením do (√-1)2 dostáváme možnosti:
    • i * i = -1
    • -i * -i = -1
    • i * -i = 1
    • -i * i = 1
    Tedy jsou dva možné výsledky vlevo: -1 a 1.
  • Spočítáme pravou rovnost √-1 * √-1 = √(-1 * -1) = √(1) = 1:
  • Podle definice odmocňování√1 dva různé výsledky: 
    • 1
    • -1
    Tedy jsou dva možné výsledky vpravo: -1 a 1.
Inu, vypečený kouzelník nás šidil na obou stranách, vlevo i vpravo. Na obou stranách měl vyjít dvojznačný výsledek -1 a 1, ale kouzelník si vybral, co se mu hodilo a z necelé pravdy povstala celá lež. 

Moivreova věta

Tato věta je speciálním případem umocňování komplexního čísla číslem celým, kde:

Moivreova věta: pro všechna přirozená čísla n platí:
(cos(φ) + i * sin(φ))n = cos(n * φ) + i * sin(n * φ)

Důkaz

Vyplývá ze vzorce pro mocnění komplexních čísel:

  • zn = (cos(φ) + i * sin(φ))n                              // levá strana vzorce
  • zn = 1n * (cos(φ * n) + i * sin(φ * n))            // použijeme vzorec pro mocnění
  • zn = (cos(φ * n) + i * sin(φ * n))    // upravíme a dostáváme pravou stranu vzorce

Příklad

Zobrazte v Gaussově rovině (cos(30º) + i * sin(30º))8:

Poznámka
 
Moivreova věta je sice jednoduchá, ale přesto užitečná, protože nám dává:
  • jistotu, že při jakémkoli mocnění komplexní jednotky výsledkem bude opět komplexní jednotka.
  • geometrickou představu, jak toto mocnění probíhá.