Přepočty komplexních čísel


Přepočet algebraického tvaru na goniometrický

Máme-li zadáno číslo a + b * i, převedeme je na tvar r * (cos(φ) + i * sin(φ)) takto:

  • spočteme r = √( a2 +b2)
  • a = 0 ⇒:
    • b = 0 ⇒ φ = 0
    • b > 0 ⇒ φ = π / 2
    • b < 0 ⇒ φ = 3 * π / 2
  • a > 0 ⇒:
    • b ≥ 0 ⇒ φ = arctg(b/a)
    • b < 0 ⇒ φ = arctg(b/a) + 2 * π
  • jinak φ = arctg(b/a) + π

Funkce arctg() je funkce inverzní k funkci tg() a bývá na kalkulátorech.

Přepočet je podobný přepočtu kartézských souřadnic na polární.


Příklad
Hledáme goniometrický tvar čísla -3 + 3 * i:
  • r = √( 9 + 9) = √18 = 3 * √2
  • φ = arctg(3/-3) + π = arctg(-1) + π = -π/4 + π = 3*π/4
Výsledek tedy je (3 * √2) * (cos(3*π/4) + i * sin(3*π/4))
 



Přepočet goniometrického tvaru na algebraický

Máme-li zadáno číslo r * (cos(φ) + i * sin(φ)), převedeme je na tvar  a + b * i takto:

  • spočteme a = r * cos(φ)
  • spočteme b = r * sin(φ)



Příklad

Hledáme algebraický tvar čísla 7 * (cos(135°) + i * sin(135°))

  • spočteme a = 7 * cos(135°) = 7 * -(1 / (√2)) =  -7 / (√2)
  • spočteme b = 7 * sin(135°) = 7 * (1 / (√2)) = 7 / (√2) 
Výsledek je -(7 / (√2) + i * (7 / (√2)) = (7 / (√2)) * (-1 + i) 



Přepočet goniometrického tvaru na exponenciální

Máme-li zadáno číslo r * (cos(φ) + i * sin(φ)), převedeme je na tvar r * e přepisem.
 


Příklad
Hledáme exponenciální tvar čísla 7 * (cos(45°) + i * sin(45°))

Výsledek je 7 * e(i * 45°) = 7 * e(i * (1 / (√2))



Přepočet exponenciálního tvaru na goniometrický

Máme-li zadáno číslo r * e, převedeme je na tvar r * (cos(φ) + i * sin(φ)) přepisem.
 


Příklad
Hledáme goniometrický tvar čísla 7 * e(i * (1 / (√2))

Výsledek je 7 * (cos(1 / (√2) + i * sin(1 / (√2)) = 7 * (cos(45°) + i * sin(45°))