Podmnožiny reálných čísel



Úvod

Z čísel reálných můžeme vybírat podmnožiny běžným způsobem, např.:

  • množinu {1; 2,4; 3; 15; 47}, která je konečná,
  • čísla přirozená neboli množinu {1; 2; 3; 4; 5; ... },
  • čísla racionální neboli množinu {x ∈ ℝ| x lze zapsat jako podíl dvou celých čísel}.


Číselné intervaly

Mimo těchto podmnožin můžeme z čísel reálných vybírat také celé úseky čísel "od - do":

Máme-li zadána dvě čísla a a b z množiny reálných čísel a je a ≤ b, potom můžeme definovat:

  • uzavřený interval <a, b> jako množinu všech reálných čísel x splňujících nerovnost a ≤ x ∧ x ≤ b,
  • otevřený interval (a, b) jako množinu všech reálných čísel x splňujících nerovnost a < x ∧ x < b,
  • zleva otevřený interval (a, b> jako množinu všech reálných čísel x splňujících nerovnost a < x ∧ x ≤ b - jiný název je zprava uzavřený interval,
  • zprava otevřený interval <a, b) jako množinu všech reálných čísel x splňujících nerovnost a ≤ x ∧ x < b - jiný název je zleva uzavřený interval.
Souhrnně tyto čtyři typy množin nazýváme intervaly.

Čísla a a b nazveme hranicemi intervalu.

Pokud je interval z některé stany uzavřený, hranici intervalu na této straně nazveme krajní bod intervalu

Každý bod intervalu, který není krajním bodem intervalu nazveme vnitřní bod intervalu.

Hranicemi intervalu mohou být i nevlastní prvky, interval je však obsahovat nemůže, jelikož tyto prvky nejsou čísla. Proto na straně nevlastního prvku je interval vždy otevřený.

Příklady

  • < -5, 5 > - oboustranně uzavřený interval
  • < -5, -5 > - oboustranně uzavřený interval (obsahující jediný bod)
  • < 2√2, 5 > - oboustranně uzavřený interval
  • ( -5, 5 ) - oboustranně otevřený interval
  • ( -5, 5 > - zleva otevřený interval
  • ( -, 5 > - zleva otevřený interval
  • ( -5, ∞) - otevřený interval
  • ( -, ∞) - otevřený interval (všechna čísla reálná)
  • (1, 1) - otevřený interval neobsahující žádný bod, čili prázdná množina
Poznámka

Zápisy intervalů se často zkracují tak, že např. místo a ≤ x ∧ x ≤ b se píše a ≤ x ≤ b.
 


Okolí čísla
Pojmy i označení v tomto odstavci jsou odvozeny od pojmu okolí prvku.
  • Levým prstencovým okolím čísla x0 nazveme každý interval
          • (x0 - ε, x0), kde ε > 0.
  • Pravým prstencovým okolím čísla x0 nazveme každý interval
          • (x0, x0 + ε), kde ε > 0.
  • Prstencovým okolím čísla x0 nazveme každé spojení intervalù
          • (x0 - ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε), kde ε > 0
  • Levým okolím čísla x0 nazveme spojení levého prstencového okolí čísla x0 a čísla x0 samého, tedy každý interval
  • (x0 - ε, x0>, kde ε > 0.
  • Pravým okolím čísla x0 nazveme spojení pravého prstencového okolí čísla x0 a čísla x0 samého, tedy každý interval
  • <x0, x0 + ε), kde ε > 0.
  • Okolím čísla x0 nazveme spojení prstencového okolí čísla x0 a čísla x0 samého, tedy každý interval
  • (x0 - ε, x0 + ε), kde ε > 0
Tedy:
  • Okolí čísla jsou určité intervaly, které se k zadanému číslu přimykají nebo je obsahují.
  • Okolí čísla definujeme pouze v oboru reálných čísel, tedy nikoli například v oboru čísel racionálních.
  • Rozlišujeme dva typy okolí čísla:
    • redukované (tzv. prstencové nebo ryzí), které číslo samo neobsahují,
    • neredukované (bez zvláštního označení), které číslo samo obsahují.