Příklady



Úhel při tělesové uhlopříčce krychle

Zjistěte úhel α při tělesové uhlopříčce krychle se stranou a.

Řešení

  • S pomocí Pythagorovy věty zjistíme délku stěnové uhlopříčky s:

  • s2 = a2 + a2 = 2 * a2 = √2 * a
  • S pomocí Pythagorovy věty zjistíme délku tělesové uhlopříčky r:

  • r2 = a2 + s2 = a2 + (√2 * a)2 = a2 + 2 * a2 = 3 * a2 = √ 3 * a
  • Známe tedy všechny strany pravoúhlého trojúhelníka AEG, velikost α spočteme např. s pomocí stran AE a s

  • AE / s = tg(α)
    tg(α) = AE / s = a / √2 * a = 1 / √2 = 0,7071
    Abychom získali hodnotu úhlu α z hodnoty jeho tangens, musíme použít tangens obráceně. Proto na kalkulátoru použijeme inverzní tangens, který se běžně nazývá arctg():
    arctg(0,7071) = 35,26°




Vzdálenost středu podstavy od tělesové uhlopříčky
  • Je dán kvádr ABCDEFGH, AB = 5 cm, BC = 4 cm, CG = 3 cm.
  • Bod P se nalézá ve středu obdélníka BCGF.
  • Přímka p (tělesová uhlopříčka) prochází vrcholy H a B.
Jaká je vzdálenost bodu P od přímky p?

Řešení

Úlohu vyřešíme postupně výpočtem stran trojúhelníků:

  • Narýsujeme si prvky, které při výpočtu budeme potřebovat:
    • spojnici PH
    • uhlopříčku FH,
    • uhlopříčky BG a CF,
    • výšku vp,
    • bod R,
    • úhel α.
  • Trojúhelník PGH je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu G, protože úsečka HG je hranou kvádru.
    • Spočteme stranu GP jako polovinu přepony trojúhelníka BFG:
    • GP = 1/2 * √(BF2 + FG2) = 1/2 * √(32 + 42) = 1/2 * √(25) = 2,5 
    • BP = GP, protože jsou to dvě poloviny téže uhlopříčky obdélníka BCGF.
    • Spočteme stranu HP:
    • HP = √(GH2 + GP2) = √(52 + 2,52) = √31,25*)
  • Trojúhelník BFH je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu F, protože úsečka HF je uhlopříčkou obdélníka BFHD.
    • Spočteme stranu FH:
    • FH = √(FG2 + GH2) = √(42 + 52) = √41  *)
    • Spočteme stranu BH
    • BH = √(BF2 + FH2) = √(32 + 41) = √50 *)
  • Trojúhelník HBP je obecný, jeho strany nyní už známe
    • Najdeme jeho výšku z bodu P, tj. určíme bod R jako její patu.
    • Použije kosinovou větu abychom spočetli úhel α:
    • a2 = b2 + c2 - 2*b*c*cos(α)
      PH2 = BH2 + BP2 - 2 * BH * BP * cos(α)
      31,25 = 50 + 6,25 - 2 * √50 * 2,5 * cos(α) **)
      -25 = -35.36 * cos(α)
      0,7022 = cos(α)
      45,39° = α
    • Pomocí definice funkce sinus α spočteme délku PR, což bude hledaná vzdálenost:
    • PR / BP = sin(α)
      PR = sin(α) * BP = 0,7119 * 2,5 = 1,7798
Vzdálenost bodu P od přímky p je 1,7798 cm.



*) odmocninu zatím nevyčíslujeme, abychom neztráceli přesnost zaokrouhlováním.
**) na tomto řádku je vidět, že skutečně nebylo třeba čísla odmocňovat, protože zde používáme druhé mocniny a odmocnit je potřeba pouze číslo √50.
 


Obecný trojúhelník

Jsou zadány dvě strany b = 5 cm, c = 7 cm a úhel jimi sevřený α = 50°. Máme spočítat velikost strany a a úhlů β a γ

Řešení

Prvním krokem řešení této úlohy je její převod na úlohu o pravoúhlých trojúhelnících. Dosáhneme toho vedením výšky v z bodu C

Dále budeme postupovat takto: 
  • Úloha o trojúhelníku ASC:
    • Se znalostí přepony b a úhlu α hledáme velikost protilehlé odvěsny v.
    • Pro to použijeme sin(α) = v / b, tedy:
      sin(50°) = v / 5
      0.766 = v / 5
      v = 3,83
    • Ze znalosti v a b pomocí Pythagorovy věty spočteme c1:
    • c1 = √(b2 - v2) = √(52 - 3,832) = √(25 - 14,67) = √10,33 = 3,214
  • Spočteme c2 = c - c1 = 7 - 3,214 = 3,786. To nás přenese k druhému trojúhelníku.
  • Úloha o trojúhelníku SBC:
    • Ze znalosti v a c2 pomocí Pythagorovy věty spočteme a:
    • a = √(c22 + v2) = √(3,7862 + 3,832) = √(14,334 + 14,67) = √29 = 5,39 cm
    • Ze znalosti přepony a a přilehlé odvěsny c2 zjistíme β použitím cos(β) = c2 / a, tedy:
    • cos(β) = 3,786 / 5,39 = 0.6635
      Abychom získali hodnotu úhlu β z hodnoty jeho kosinu, musíme použít kosinus obráceně. Proto na kalkulátoru použijeme inverzní kosinus, který se běžně nazývá arccos():
      β = arccos(0.6635)
      β = 48,43° = 48° 26'
    • Úhel při vrcholu C zjistíme dopočtem do 180°:
    • 1 + γ2) = 180° - α - β = 180° - 50° - 48,44° = 71,56°
Zde jsem úlohu vyřešili v úplnosti pouze ze znalosti goniometrických funkcí a Pythagorovy věty. Mohli bychom ji rovněž vyřešit jednodušeji, kosinovou větou
 


Vzdálenost a velikost Slunce

Jak daleko je Slunce, jestliže jeho světlo letí na Zemi 8,5 minuty, a jak je Slunce veliké, jestliže je vidíme pod úhlem 0.5° ? Kolikrát je Slunce větší než Země? Kolikrát je Slunce objemnější než Země?

Řešení

  • Bereme do úvahy, že 1 minuta60 sekund a rychlost světla je přibližně 300 000 km/s. Podle toho je Slunce vzdáleno 8,5 * 60 * 300 000 = 153 000 000 km.
  • Velikost Slunce spočteme podle obrázku s pomocí pravoúhlého trojúhelníka ABC:
  • Známe úhel α a přilehlou odvěsnu b, hledáme protilehlou odvěsnu a. Tyto tři údaje vystupují ve funkci tangens, tedy si napíšeme jeho definici:
  • tg(α) = a / b
    Do vzorce dosadíme a spočteme a:
    tg(0.5 °) = a / 153000000
    0,00872 = a / 153000000
    a = 0,00892 * 153000000 = 1 335 185 km
  • Skutečná Slunce velikost podle Wikipedie je 1 392 000 km, rozdíl (asi 4%) jde na vrub nepřesností našich vstupních dat.
  • Víme, že 1 m je 1 / 10 000 000 čtvrtiny zemského obvodu.
    • Je tedy zemský obvod 40 000 000 m, což je 40 000 km.
    • Z toho spočteme průměr Země 40 000 / π, což je asi 13 000 km.
    • Porovnáním 1 335 185 km a 13 000 km dostáváme poměr asi 100.
  • Protože objemy rostou s třetí mocninou rozměrů, bude objem Slunce asi 1 000 000 krát větší než objem Země.



Obsah pravidelného sedmiúhelníka

Známe-li pro pravidelný n-úhelník vzdálenost r z jeho středu k jednomu z jeho vrcholů, umíme pomocí goniometrických funkcí spočíst jeho obsah - ukážeme si to pro n = 7, r = 5 cm

Řešení

  • Známe r a umíme spočíst úhel α = 360° / 14 = 25.71°.
  • Trojúhelník V1SV7 je rovnoramenný, osa úhlu V1SV7 tedy půlí spojnici V1V7 a je na ni kolmá.
  • Spočteme a:
    • Z definice víme, že sin(α) = a / r
    • a tedy a = sin(α) * r = 0.4338 * 5 = 2.169
  • Spočteme b:
    • Z definice víme, že cos(α) = b / r
    • a tedy b = cos(α) * r = 0.901 * 5 = 4.505
  • Obsah trojúhelníka V1SV7 je:
  • S = 2 * (1/2 * a * b) = a * b = 2.169 * 4.5 = 9,77
  • Obsah celého 7-úhelníka tedy bude 9,77 * 7 = 68.4 cm2



Dopočítání goniometrických funkcí

V pravoúhlém trojúhelníku známe hodnotu sin(α) = 0,6
Jaké hodnoty mají cos(α) a tg(α)?

Řešení
  • Je zadána funkce sin(α), tedy podle definice je:
  • sin(α) = a / c = 0,6.
  • Protože trojúhelník je pravoúhlý, platí v něm Pythagorova věta. Bude nám užitečná, přestože neznáme ani jednu stranu:
  •      c2 = a2 + b2                                      // Pythagorova věta
         1 = a2 / c2 + b2 / c2                           // upravíme
         1 = (sin(α))2 + (cos(α))2                  // dosadíme z definic
         1 = 0,62 + (cos(α))2                          // dosadíme za sinus
         cos(α) = √(1 - 0,62)                          // upravíme
         cos(α) = √0,64                                  // upravíme
         cos(α) = 0,8                                      // výsledek
  • Hodnotu tg(α) určíme podle známého vzorce:
  •      tg(α) = sin(α) / cos(α) = 0,6 / 0,8 = 0,75



Použití goniometrie pro výrobu map

Tento způsob sloužil k výrobě map před nástupem družicového snímkování, tedy ještě nedávno. Postupuje se při něm takto: 

  • Na území státu se vyberou měřicí body. Jsou to vyvýšená místa s dobrým rozhledem. Na výkresu se znázorňují jako uzly tzv. trigonometrické sítě.
  • Změří se úhly mezi všemi sousedními uzly - k tomu používaný měřicí přístroj se nazývá teodolit.
  • Změří se vzdálenosti několika uzlů - v ČR to jsou vzdálenosti uzlů
    • Cheb - Pecný u Ondřejova,
    • Pecný u Ondřejova - Poděbrady,
    • Pecný u Ondřejova - České Budějovice,
    • Poděbrady - Kroměříž.
    Tato měření se provádí speciálními přesnými měřicími pásmy.
  • Ostatní vzdálenosti se dopočítávají pomocí goniometrických vzorců. Náhradou měření vzdálenosti výpočty se ušetří velké množství práce.
  • Tak vznikne podklad pro výrobu mapy, do kterého se mapové objekty umisťují podle měření v rámci jednotlivých trojúhelníků trigonometrické sítě. 

Československá trigonometrická sít - podoba v roce 1936 
Zdroj: http://igdm.vsb.cz/igdm/materialy/geosite.pdf


Výpočet čísla π

Příklad

Vypočtěte π přesně na pět desetinných míst.

Řešení

Číslo π vypočteme postupným jeho upřesňováním za pomoci mnohoúhelníků vepsaných a opsaných jednotkové kružnici. Mnohoúhelníky budeme volit počínaje od čtverce postupným zdvojnásobováním počtu stran, tedy čtverec, osmiúhelník, šestnáctiúhelník atd. Získáme tak dvě posloupnosti odhadů π, jedna budou dolní odhady a druhá budou horní odhady. 

Výpočet ukončíme až v obou odhadech bude počet shodných desetinných míst roven pěti.

Během výpočtu budeme využívat obrázek schematicky znázorňující jeden segment mnohoúhelníka:

Budeme postupovat takto:
  • Na začátku výpočtu si nastavíme parametry pro čtverec:
  • Dále postupujeme cyklicky s využitím dříve vypočtených hodnot:
    • Spočteme strany a obvody mnohoúhelníků
      • s = 1 * sin(α) - polovina strany mnohoúhelníka vepsaného
      • s' = 1 * tg(α) - polovina strany mnohoúhelníka opsaného
      • O = 2 * s * n - obvod mnohoúhelníka vepsaného
      • O' = 2 * s' * n - obvod mnohoúhelníka opsaného
      • Zapíšeme data do tabulky, přitom O a O' podělíme dvěma, aby se zapsala hodnota odpovídající π. Pokud je dosaženo požadované přesnosti, výpočet ukončíme.
    • Zdvojnásobíme počet stran a přepočteme na poloviční úhel:
      • n = n * 2
      • sin(α/2) = √((1 - cos(α)) / 2) - používáme vzorec
      • cos(α/2) = √((1 + cos(α)) / 2) - používáme vzorec
      • tg(α/2)   = sin(α/2) / cos(α/2) - používáme vzorec
      • α = α / 2
      • vracíme se na začátek cyklu
Výpočet jsme ukončili po dosažení výsledku π ≈ 3.14159.

Tabulka s vypočtenými hodnotami:
 

n
počet
stran
n-úhelníka
α
poloviční
úhel
segmentu
n-úhelníka
s
polovina
strany
n-úhelníka
vepsaného
s'
polovina
strany
n-úhelníka
opsaného
O / 2
polovina
obvodu
n-úhelníka
vepsaného
O' / 2
polovina
obvodu
n-úhelníka
opsaného
O / O'
poměr
obvodů
n-úhelníka
(přesnost)
45.000000  0.707107  1.000000  2.828427  4.000000  0.707107
22.500000  0.382683  0.414214  3.061467  3.313708  0.923880
16  11.250000  0.195090  0.198912  3.121445  3.182598  0.980785
32  5.625000  0.098017  0.098491  3.136548  3.151725  0.995185
64  2.812500  0.049068  0.049127  3.140331  3.144118  0.998795
128  1.406250  0.024541  0.024549  3.141277  3.142224  0.999699
256  0.703125  0.012272  0.012272  3.141514  3.141750  0.999925
512  0.351563  0.006136  0.006136  3.141573  3.141632  0.999981
1024  0.175781  0.003068  0.003068  3.141588  3.141603  0.999995
2048  0.087891  0.001534  0.001534  3.14159 3.14159 0.999999
4096  0.043945  0.000767  0.000767  3.141592 3.14159 1.000000 

Zeleně jsou vyznačeny platné cifry našeho π.

Při výpočtu jsme vystačili:

  • s běžně známými hodnotami sin(45°) a cos(45°),
  • s goniometrickými vzorci pro poloviční úhel,
  • se základním vzorcem pro tangens,
  • se základními početními operacemi.
Podobným způsobem počítal číslo π Archimédes kolem roku 250 př. n. l.