Limita funkce

Úvod

Limitou v zobrazení jsme se již zabývali. Pro funkci f(x) v bodě xi je limita číslo yi, které udává, 

  • zda pro x z definičního oboru konvergující k xi,
  • hodnoty f(xi) z oboru hodnot konvergují k yi.
Na obrázku si ukážeme různé možnosti chování funkce z pohledu limit:

Vidíme, že:
  • V bodech x < x1 limity existovat nebudou, protože v okolí těchto bodů není definována f(x).
  • V bodě x1 bude existovat pouze tzv. limita zprava rovná y1.
  • Ve všech bodech uvnitř intervalů (x1, x2) a (x2, x3) budou existovat limity rovné funkčním hodnotám. Zakresleno je to pro body x5 a x6.
  • V bodě x2:
    • bude existovat tzv. limita zleva rovná y2A,
    • bude existovat tzv. limita zprava rovná y2B,
    • ale nebude tam existovat limita.
  • V bodě x3 bude existovat pouze tzv. limita zleva rovná y3.
  • V bodě x4 bude existovat pouze tzv. limita zprava rovná y4.
  • V bodech x > x3∧ x < x4 limity existovat nebudou, protože v okolí těchto bodů není definována f(x).
  • V bodech x > x4 limity existovat nebudou ze stejného důvodu.


Definice limity funkce

Podle výzkumu nahoře můžeme definovat tři typy limity funkce:

1) Řekneme, že funkce f(x) definovaná na množině M má v bodě x0
limitu zleva y0, jestliže:
      x0 je hromadným prvkem množiny a
      pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové, že
      pro každé x ∈ M & x < x0 & |x0 - x| < δ platí |f(x) - y0| < ε.
Zapisujeme:

lim f(x) = y0
x→x0-

2) Řekneme, že funkce f(x) definovaná na množině M má v bodě x0
limitu zprava y0, jestliže:
      x0 je hromadným prvkem množiny M a
      pro každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takové, že
      pro každé x ∈ M & x > x0 & |x0 - x| < δ platí |f(x) - y0| < ε.
Zapisujeme:

lim f(xn) = y0
x→x0+

3) Řekneme, že funkce f(x) definovaná na množině M má v bodě x0
limitu y0, jestliže:
      má v bodě x0 limitu zleva i zprava a
      obě limity jsou si rovny.
Tato limita se někdy nazývá oboustranná limita.
Zapisujeme:

lim f(x) = y0
x→x0

Poznámky

  • Je třeba zdůraznit, že při práci s limitou funkce se hodnotou v bodě x0 se zásadně nezabýváme, nemusí být proto ani definována. S touto hodnotou budeme pracovat až při vyšetřování další vlastnosti funkcí.
  • Definice limity s pomocí dvojice εδ bývala noční můrou studentů. Nebyla snadná ani pro matematiky, trvalo jim 150 let, než ji objevili a osvojili si ji.


Příklad
  • Podle grafu funkce na obrázku existují:
  • Neexistuje
    • , protože pravá i levá limita sice existují, ale nejsou si rovny - graf funkce je v bodě x12 přerušen. Proto, pokud bychom za limitu považovali libovolné L:
      • pro libovolné zadané kladné ε < y1 - y2,
      • nelze najít δ takové, 
      • aby pro každé x vyhovující |x12 - x| < δ bylo |L - f(x)| < ε.



Pokud limita funkce v bodě (limita zleva, limita zprava) existuje a je konečná, říkáme, že funkce v bodě konverguje (konverguje zleva, konverguje zprava).
Pokud limita funkce v bodě (limita zleva, limita zprava) existuje a je nekonečná, říkáme, že funkce v bode diverguje (diverguje zleva, diverguje zprava).


Příklad

Funkce y = 1 / x má:

  • definiční obor (-∞, 0) ∪ (0, ∞) neboli reálná čísla mimo 0,
  • obor hodnot jsou rovněž reálná čísla mimo 0.
Na jejím grafu je vyznačeno pět limit:
     
  • Tak, jak se přibližuje x k , y směřuje k 0.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k rovná se 0
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k konverguje k 0.
  • Tak, jak se přibližuje x k -∞, y směřuje k 0.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k -∞ rovná se 0
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k - konverguje k 0.
  • Tak, jak se přibližuje x k 0 zprava, y je stále větší a směřuje k .
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 0 zprava rovná se
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k 0 zprava je divergentní.
  • Tak, jak se přibližuje x k 0 zleva, y je stále menší a směřuje k -∞.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 0 zleva rovná se -∞
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující k 0 zleva je divergentní.
  • Tak, jak se přibližuje x k 3 (z libovolné strany), y směřuje k 1/3.
  • Zapisujeme: 
    Čteme: limita funkce 1/x pro x blížící se k 3 rovná se 1/3
    nebo také: funkce 1/x pro x konvergující ke 3 konverguje k 1/3.


Příklad

Funkce signum(x)

  • nemá limitu v bodě 0,
  • má limitu zleva v bodě 0 rovnou -1
  • má limitu zprava v bodě 0 rovnou 1
  • má limitu pro všechna x > 0 rovnou 1
  • má limitu pro všechna x < 0 rovnou -1




Příklad

Dirichletova funkce nemá limitu v žádném bodě.
 



Příklad

Dirichletova funkce 1 má limitu v bodě 0 a v žádném dalším.
 



Příklad

Funkce s jediným hromadným bodem má pouze limitu zprava v bodě 0 a v žádném dalším.
 


Věta
  • Jsou-li nějaké dvě funkce definované na stejné množině
  • a mají-li obě tyto funkce limitu v nějakém bodě,
  • má v tomto bodě limitu také součet těchto funkcí 
  • a tato limita je rovna součtu limit obou funkcí.

Důkaz

Provedeme jej podle definice limity:

  • je-li dáno nějaké kladné číslo ε,
  • rozdělíme ho na dvě poloviny,
  • k první najdeme číslo δ pro první funkci, ke druhé najdeme číslo δ pro druhou funkci, 
  • menší z obou δ bude delta pro součet funkcí, 
  • přesvědčíme se tak, že pro toto δ mají obě funkce hodnoty v ε/2-okolí, tedy součtová funkce má hodnoty v ε-okolí.


Podobné věty platí i pro rozdíl a součin funkcí.