Vlastnosti a význam funkcí


Obecné vlastnosti funkcí



Význam funkcí

Funkce umožňují určovat hodnoty, jaké bude mít závisle proměnná při různých hodnotách nezávisle proměnné. Jinak řečeno, můžeme předvídat její hodnoty podle toho, jak se mění nezávisle proměnná. 

Příklad 1

Závislost ceny zboží na množství zboží: Jestliže 1 kg kilogram cukru stojí 18 Kč, potom můžeme:
  • Buď použít funkci s předpisem c = 18 * h k určení celkové ceny cukru v závislosti na jeho hmotnosti, například umíme určit, že 3,5 kg cukru stojí 63 Kč.
  • Nebo použít funkci s předpisem h = c / 18 k určení hmotnosti cukru v závislosti na jeho celkové ceně, například umíme určit, že za 90 Kč zakoupíme přesně 5 kg cukru.
Příklad 2

Závislost dráhy volného pádu předmětu na čase:
Fyzika nás učí, že dráha volného pádu je z počátku malá, ale postupně se stále rychleji roste. Pro výpočet se používá vzorec s = (9,81
* t2) / 2 = 4,405 * t2, ve kterém:
  • s označuje dráhu, 
  • 9,81 je hodnota přitažlivého zrychlení na povrchu Země,
  • t je čas.
Tento vzorec můžeme použít jako dvě funkce:
  • buď k určení dráhy pádu v závislosti na čase s předpisem s = (9,81 * t2) / 2,
  • nebo k určení trvání pádu v závislosti na dráze s předpisem t = √(s / 4,405).
Například umíme určit, že:
  • 1 sekundu trvající pád má dráhu přibližně 4.4 metrů,
  • 10 sekund trvající pád má dráhu přibližně 440 metrů,
  • 100 sekund trvající pád má dráhu přibližně 44050 metrů, čili 44 km.
  • Naopak pád s dráhou 100 m trval přibližně 4,46 s,
  • pád s dráhou 1000 m trval přibližně 15,1 s,
  • pád s dráhou 10000 m trval přibližně 47,6 s,



Porovnání analytické geometrie a matematické analýzy
  • Analytická geometrie má širší zobrazovací možnosti, protože:
    • umí zobrazovat i v jiných souřadných systémech,
    • zobrazuje libovolné binární relace, tedy umí zobrazovat i geometrické útvary, které z pohledu souřadnice x nejsou jednoznačné, například kružnici, kruh a čtverec.

  • Matematická analýza má hlubší možnosti zkoumání, protože:
    • požadavkem na jednoznačnost zobrazení může vyšetřovat podrobnosti vztahu obou proměnných. 




Úpravy binárních relací na funkce 

Pokud chceme v matematické analýze použít nějakou binární relaci, musíme se ubezpečit, že je jednoznačná, tedy, že se jedná o zobrazení.
Pokud tato relace jednoznačná není, musíme ji upravit. Úprava spočívá v odstranění nějaké její části tak, aby se stala zobrazením.

Příklad

Zobrazte binární relaci danou předpisem druhé odmocniny, tedy y = √x pro x ≥ 0.

Řešení

  • Jedná se o množinu M = { X = [x; y]; x ∈ ∧ x ≥ 0; y ∈ | y = √x }
  • V analytické geometrii:
  • Graf této relace má dvě větve, protože podle našich poznatků o odmocnině je vztah y = √x pro x > 0 dvojznačný, např. √1,44 = ±1,2:
  • V matematické analýze:
  • Nelze použít graf z analytické geometrie, protože tato binární relace není jednoznačná. Jednoznačnosti dosáhneme tím, že z definice množiny M vyloučíme všechny dvojice, ve kterých y < 0.
    Zápis upravené množiny M bude:
    M = { X = [x; y]; x ∈ ∧ x ≥ 0; y ∈ | y = √x ∧ y ≥ 0 }.
    Tak jsme dosáhli jednoznačnosti a graf zobrazení má pouze jednu větev:


Podobnou situaci budeme řešit i po jiné funkce.
 
 

Možná rozšíření definice funkce 

Definici funkce bychom mohli rozšířit dvěma způsoby: