Rovnice v obecném tvaru

Úvod

Každou rovnici můžeme zapsat mnoha způsoby. Například rovnici 3x + 5 = 17 lze zapsat též jako:

3x - 12
 = 0
x  - 4
 = 0
x
 = 4
6x
 = 24
6x  - 24
 = 0
6x  - 30
 = -6

Aby se matematikům s rovnicemi lépe pracovalo a aby mohli snadněji používat různé nástroje a postupy pro jejich řešení, snaží se rovnice zapisovat v tzv. obecném tvaru:

Obecným tvarem rovnice nazveme tvar, ve kterém:

  • Všechny nenulové členy zápisu jsou převedeny na levou stranu, vpravo zůstává 0.
  • Je-li na levé straně polynom, je upraven tak, aby:
    • jeho členy byly uspořádány zleva doprava od vyšších mocnin proměnných k nižším,
    • koeficient u proměnné v nejvyšší mocnině byl roven 1.
Příklad

Je dána rovnice 5 - 6x + 3x2 = 17. Odvoďte její obecný tvar.

Řešení

Rovnici budeme postupně upravovat:

5 - 6x + 3x2
 = 17     // původní tvar rovnice
-12 - 6x + 3x2
 = 0     // 17 převedeno vlevo
3x2 - 6x  - 12
 = 0     // členy polynomu srovnány podle mocniny
x2 - 6/3 * x  - 12/3
 = 0     // koeficient nejvyšší mocniny převeden na 1
x2 - 2x  - 4
 = 0     // po drobných úpravách jsme dostali obecný tvar



Kořeny rovnice ve tvaru součinu činitelů

V tomto odstavci se budeme zabývat rovnicemi v obecném tvaru, které mají na levé straně součin činitelů. Příkladem je rovnice (sin(x) - 1) * (x - π/2) * x = 0.

Věta


Jestliže rovnice je v obecném tvaru a levá strana je součinem činitelů, potom pro její vyřešení stačí:
  • vyřešit sadu rovnic v obecném tvaru sestavených z jejích činitelů,
  • za řešení vzít sjednocení M všech řešení pro jednotlivé činitele.
Důkaz
  • Vybereme kterékoli číslo z M.
  • Dosadíme je do rovnice.
  • Ten činitel, jehož řešením je určené číslo, se stane 0.
  • Protože se jedná o součin, 0 se stane i celá levá strana rovnice.
  • Vybrané číslo je řešením rovnice a stejně tak i ostatní čísla z M.
  • Čísla nepatřící do M nejsou řešeními rovnice, protože po dosazení do rovnice dostaneme součin nenulových činitelů, který proto je rovněž nenulový.
Příklad

Najděte všechny kořeny výše uvedené rovnice (sin(x) - 1) * (x - π/2) * x = 0.

Řešení

  • Rovnice je součinem tří činitelů dvojčlenů:
    • sin(x) - 1 = 0 má kořeny x = π/2 + k*2*π pro všechna k celá čísla.
    • x - π/2 = 0 má kořen x = π/2.
    • x = 0 má kořen x = 0.
    • Další kořeny rovnice nemá, protože pro každé další x jsou všechny tři součinitelé nenuloví a tedy i součin je nenulový.
    • Celkem má tedy rovnice nekonečně mnoho kořenů.


Násobné kořeny rovnice
  • Pokud je levá strana rovnice v obecném tvaru polynomem,
  • a ten lze vyjádřit jako součin několika polynomů, které jako rovnice mají stejný kořen,
  • potom tento kořen nazveme násobným kořenem a počet členů součinu se stejným kořenem nazveme násobností kořenu.
Příklad

Najděte všechny kořeny rovnice x3 + x2 - 16x + 20 = 0, kterou lze přepsat na součin
(x + 5) * (x - 2) * (x - 2) = 0.

Řešení

  • Rovnice je součinem tří dvojčlenů a tedy:
    • x = -5 je kořen, protože pro takové x je rovnice splněna.
    • x = 2 je rovněž kořen, protože i pro takové x je rovnice splněna. Navíc však jde o kořen dvojnásobný, protože levá strana je zapsána ve tvaru dvou členů s kořenem x = 2.
    • Další kořeny rovnice nemá, protože pro každé jiné x jsou všechny tři součinitelé nenuloví a tedy i součin je nenulový.
    • Celkem tedy rovnice má tři kořeny.