Rovnice a nerovnice


Úvod

Běžným způsobem zadání rovnice je zadání podmínky a výzva k řešení, například:

Vyřešte rovnici 7 / x = 42.

Na pohled je takové zadání jasné a od studenta se očekává, že udělá čtyři kroky:

  1. Zapíše si, že výraz na levé straně má smysl pouze pro x 0.
  2. Spočte řešení úpravami podmínky:
    • 7 / x = 42
    • 7 = 42 * x
    • 7 / 42 = x
    • x = 1 / 6
  3. Podívá se, zda x nesplňuje podmínku z bodu 1, tedy zda hodnota x není rovna 0, což by byl důvod pro podrobnější zkoumání rovnice (budeme se tím zabývat v dalším textu).
  4. Oznámí výsledek: Řešením rovnice je x = 1 / 6.
Výsledek je v pořádku, ale zůstává otázka, co ony čtyři kroky vlastně popisují. Při podrobnějším zamyšlení přijdeme na to, že:
  • Jde nám o číslo nebo více čísel,
  • která splňují zadanou podmínku a
  • patří do množiny čísel rálných.
Tuto věc ale známe - v teorii množin jsme tak zadávali množiny, náš příklad bychom zadali jako hledání množiny
M = {x ∈ | 7 / x = 42 }.

Toto poznání je velmi důležité, jelikož:
  • Řešení rovnice převedeme na známou úlohu zadání množiny a tedy pro řešení rovnic není třeba vymýšlet nějaká zvláštní pravidla.
  • Zadání množiny určuje kroky potřebné pro vyřešení rovnice, tj.:
    • Vyžaduje jasný popis definičního oboru proměnné x, v tomto případě jsou definičním oborem x všechna reálná čísla.
    • Podle tvaru podmínky na ni klade doplňující omezení: pokud pro nějaké x z definičního oboru  podmínku nelze vyhodnotit (došlo by k dělení 0), musíme takové  x z definičního oboru vyloučit, např. takto:
    M = {x ∈ | 7 / x = 42 & x ≠ 0 }.
    • Určuje jádro práce při řešení úlohy: projít definiční obor x a najít všechna x podmínce vyhovující. A protože víme, že vyhovující x lze najít úpravami podmínky do tvaru x = ..., tyto úpravy provedeme a máme výsledek.


Definice

Výsledek našeho výzkumu si nyní přepíšeme do tvaru definice:

Nechť je zadána množina M = {x ∈ D | p }, kde

Potom: 

  • Jestliže se v p vyskytuje pouze relační operátor =,
  •           p nazveme rovnicí.
  • Jestliže se v p vyskytují i jiné relační operátory než =,
  •           p nazveme nerovnicí.
  • Levou stranu p nazveme levou stranou rovnice či nerovnice.
  • Pravou stranu p nazveme pravou stranou rovnice či nerovnice.
  • Množinu D nazveme definičním oborem rovnice či nerovnice.
  • Řešením rovnice či nerovnice nazýváme:
    • jednak množinu M.
    • jednak postup, kterým prvky množiny M zjistíme.
  • Prvky množiny M nazýváme kořeny rovnice.
  • Sám zápis M = { ... } budeme nazývat zápisem rovnice či nerovnice.
Poznámky
  • Jak jsme si uvedli v Úvodu, v běžných případech bývá zadání stručné, je uvedena pouze podmínka a definičním oborem se rozumí množina všech reálných čísel.
  • Rovnice a nerovnice, jejichž pravé i levé strany jsou lineárními mnohočleny  nazýváme lineárními rovnicemi či lineárními nerovnicemi.
    Příkladem je rovnice s podmínkou 3 * x + 15 * y - 6 = 0.

  • Rovnice a nerovnice ostatní nazýváme nelineárními rovnicemi či nelineárními nerovnicemi.
    Příkladem je rovnice s podmínkou 3 * x * x + 15 * sin(y) - 6 = 0.



Příklad

Řešte rovnici s popisem M = {x ∈ | 140 * x = 420 }

Řešení

Máme najít množinu všech x reálných, splňujících podmínku 140 * x = 420". Takové x bude jen jedno a sice x = 420 / 140 = 3.

Množinu M si můžeme zobrazit na číselné ose takto: 




Příklad

Řešte nerovnici s popisem M = {x ∈ | x < 2,5 }

Řešení

Řečeno slovy "máme najít všechna x reálná, splňující podmínku x < 2,5".

Množinu M si můžeme zobrazit na číselné ose takto: