Odvození vzorce pro řešení
kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice se běžně zapisuje ve tvaru 

a*x2 +  b*x + c = 0.

Cílem řešení je převést rovnici na tvar (x - x1) * (x - x2) = 0, čímž získáme výrazy pro x1 a x2. Tyto výrazy jsou kořeny kvadratické rovníce, protože kdykoli x je rovno některému z nich, rovnice je splněna.

Odvození vzorce:

  • Vezmeme rovnici a*x2 +  b*x + c = 0 a podělíme ji koeficientem a.
  • Dostaneme
    x2 +  (b/a)*x + c/a = 0
  • Na první dva členy rovnice použijeme větu o doplnění na čtverec:
  • (x + b/(2a)) - b2/(4a2) + c/a   = 0
  • Upravíme poslední dva členy na levé straně rovnice:
  • (x + b/(2a)) - (√(b2 - 4ac) / (4a2))2 = 0
  • Nyní je rovnice podobná vzorci pro rozdíl čtverců - roznásobíme ji:
  • (x + b/(2a) - √((b2 - 4ac)/(4a2))) * (x + b/(2a) + √((b2 - 4ac)/(4a2))) = 0
  • Upravíme ji a obarvíme:
    (x - (-b/(2a) + √((b2 - 4ac)/(4a2)))) * (x - (-b/(2a) - √((b2 - 4ac)/(4a2)))) = 0
  • V tomto tvaru je podobná výše uvedenému výrazu (x - x1) * (x - x2) = 0, takže již můžeme sestavit kýžený vzorec:
  •        x1,2 = (-b/(2a) ± √((b2 - 4ac)/(4a2))) = (−b ± √(b2 − 4*a*c)) / 2*a
    Znaménko ± označuje, že řešení jsou obecně dvě, což souhlasí s počtem řešení podle základní věty algebry.
Významný je výraz b2 − 4*a*c stojící pod odmocninou. Nazývá se diskriminant a označuje se D. Na něm závisí hlavní vlastnosti řešení rovnice: